解的结构与基础解系
解的结构
齐次线性方程组的解结构
定理：齐次线性方程组 Ax⃗=0⃗A\vec{x} = \vec{0}Ax=0 的解空间是向量空间。
证明：
零解 0⃗\vec{0}0 是解
如果 x⃗1,x⃗2\vec{x}_1, \vec{x}_2x1,x2 是解，则 x⃗1+x⃗2\vec{x}_1 + \vec{x}_2x1+x2 也是解
如果 x⃗\vec{x}x 是解，kkk 是常数，则 kx⃗k\vec{x}kx 也是解
非齐次线性方程组的解结构
定理：设 x⃗0\vec{x}_0x0 是非齐次线性方程组 Ax⃗=b⃗A\vec{x} = \vec{b}Ax=b 的一个特解，x⃗h\vec{x}_hxh 是对应齐次方程组 Ax⃗=0⃗A\vec{x} = \vec{0}Ax=0 的任意解，则 x⃗0+x⃗h\vec{x}_0 + \vec{x}_hx0+xh 是非齐次方程组的解。
证明：
A(x⃗0+x⃗h)=Ax⃗0+Ax⃗h=b⃗+0⃗=b⃗A(\vec{x}_0 + \vec{x}_h) = A\vec{x}_0 + A\vec{x}_h = \vec{b} + \vec{0} = \vec{b}A(x0+xh)=Ax0+Axh=b+0=b
解的结构定理
定理：非齐次线性方程组 Ax⃗=b⃗A\vec{x} = \vec{b}Ax=b 的通解为：
x⃗=x⃗0+x⃗h\vec{x} = \vec{x}_0 + \vec{x}_hx=x0+xh
其中：
x⃗0\vec{x}_0x0 是非齐次方程组的一个特解
x⃗h\vec{x}_hxh 是对应齐次方程组的通解
基础解系
基础解系的定义
定义：齐次线性方程组 Ax⃗=0⃗A\vec{x} = \vec{0}Ax=0 的基础解系是该方程组解空间的基。
基础解系的性质
性质：
基础解系中的向量线性无关
齐次方程组的任意解都可以表示为基础解系的线性组合
基础解系中向量的个数等于自由变量的个数
基础解系的求法
步骤：
用高斯消元法将系数矩阵化为行阶梯形
确定主元和自由变量
对每个自由变量，令其等于 1，其他自由变量等于 0，求解得到基础解系
例子
例 1：求方程组 {x+y+z=02x+2y+2z=0\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + 2y + 2z = 0 \end{cases}{x+y+z=02x+2y+2z=0 的基础解系。
解：
增广矩阵：(111∣0222∣0)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 2 & 2 & 2 & | & 0 \end{pmatrix}(121212∣∣00)
化为行阶梯形：(111∣0000∣0)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}(101010∣∣00)
主元：xxx，自由变量：y,zy, zy,z
令 y=1,z=0y = 1, z = 0y=1,z=0，得 v⃗1=(−1,1,0)\vec{v}_1 = (-1, 1, 0)v1=(−1,1,0)
令 y=0,z=1y = 0, z = 1y=0,z=1，得 v⃗2=(−1,0,1)\vec{v}_2 = (-1, 0, 1)v2=(−1,0,1)
基础解系：{(−1,1,0),(−1,0,1)}\{(-1, 1, 0), (-1, 0, 1)\}{(−1,1,0),(−1,0,1)}
通解
通解的定义
定义：线性方程组的通解是包含所有解的表达式。
齐次方程组的通解
形式：x⃗=k1v⃗1+k2v⃗2+⋯+krv⃗r\vec{x} = k_1\vec{v}_1 + k_2\vec{v}_2 + \dots + k_r\vec{v}_rx=k1v1+k2v2+⋯+krvr
其中：
{v⃗1,v⃗2,…,v⃗r}\{\vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_r\}{v1,v2,…,vr} 是基础解系
k1,k2,…,krk_1, k_2, \dots, k_rk1,k2,…,kr 是任意常数
非齐次方程组的通解
形式：x⃗=x⃗0+k1v⃗1+k2v⃗2+⋯+krv⃗r\vec{x} = \vec{x}_0 + k_1\vec{v}_1 + k_2\vec{v}_2 + \dots + k_r\vec{v}_rx=x0+k1v1+k2v2+⋯+krvr
其中：
x⃗0\vec{x}_0x0 是特解
{v⃗1,v⃗2,…,v⃗r}\{\vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_r\}{v1,v2,…,vr} 是对应齐次方程组的基础解系
k1,k2,…,krk_1, k_2, \dots, k_rk1,k2,…,kr 是任意常数
解的结构分析
唯一解
条件：当系数矩阵的秩等于未知数的个数时，方程组有唯一解。
特点：
齐次方程组只有零解
非齐次方程组有唯一解
无穷多解
条件：当系数矩阵的秩小于未知数的个数时，方程组有无穷多解。
特点：
齐次方程组有无穷多解
非齐次方程组有无穷多解
自由变量的个数等于未知数个数减去系数矩阵的秩
无解
条件：当系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩时，方程组无解。
解空间的维数
解空间维数的计算
定理：齐次线性方程组 Ax⃗=0⃗A\vec{x} = \vec{0}Ax=0 的解空间的维数等于 n−r(A)n - r(A)n−r(A)，其中 nnn 是未知数的个数，r(A)r(A)r(A) 是系数矩阵的秩。
例子
例 2：分析方程组 {x+y+z=02x+2y+2z=0\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + 2y + 2z = 0 \end{cases}{x+y+z=02x+2y+2z=0 的解空间维数。
解：
系数矩阵：A=(111222)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}A=(121212)
r(A)=1r(A) = 1r(A)=1，n=3n = 3n=3
解空间维数：3−1=23 - 1 = 23−1=2
参数解
参数解的定义
定义：用参数表示的解称为参数解。
参数解的求法
步骤：
用高斯消元法化为行阶梯形
确定主元和自由变量
用自由变量作为参数表示其他变量
例子
例 3：求方程组 {x+y+z=02x+2y+2z=0\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + 2y + 2z = 0 \end{cases}{x+y+z=02x+2y+2z=0 的参数解。
解：
化为行阶梯形：(111∣0000∣0)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}(101010∣∣00)
主元：xxx，自由变量：y,zy, zy,z
设 y=ty = ty=t，z=sz = sz=s，则 x=−t−sx = -t - sx=−t−s
参数解：x=−t−sx = -t - sx=−t−s，y=ty = ty=t，z=sz = sz=s（t,st, st,s 为任意常数）
练习题
练习 1
写出 {x+y+z=02x+2y+2z=0\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + 2y + 2z = 0 \end{cases}{x+y+z=02x+2y+2z=0 的基础解系。
参考答案解题思路：
按照基础解系的求法步骤。
详细步骤：
增广矩阵：(111∣0222∣0)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 2 & 2 & 2 & | & 0 \end{pmatrix}(121212∣∣00)
化为行阶梯形：(111∣0000∣0)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}(101010∣∣00)
主元：xxx，自由变量：y,zy, zy,z
令 y=1,z=0y = 1, z = 0y=1,z=0，得 v⃗1=(−1,1,0)\vec{v}_1 = (-1, 1, 0)v1=(−1,1,0)
令 y=0,z=1y = 0, z = 1y=0,z=1，得 v⃗2=(−1,0,1)\vec{v}_2 = (-1, 0, 1)v2=(−1,0,1)
答案：基础解系为 {(−1,1,0),(−1,0,1)}\{(-1, 1, 0), (-1, 0, 1)\}{(−1,1,0),(−1,0,1)}
练习 2
求方程组 {x+y+z=62x+3y+z=13x−y+2z=4\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x + 3y + z = 13 \\ x - y + 2z = 4 \end{cases}⎩⎨⎧x+y+z=62x+3y+z=13x−y+2z=4 的通解。
参考答案解题思路：
先求特解，再求对应齐次方程组的基础解系。
详细步骤：
用高斯消元法求得特解：x=5x = 5x=5，y=1y = 1y=1，z=0z = 0z=0
对应齐次方程组：{x+y+z=02x+3y+z=0x−y+2z=0\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + 3y + z = 0 \\ x - y + 2z = 0 \end{cases}⎩⎨⎧x+y+z=02x+3y+z=0x−y+2z=0
用高斯消元法求得基础解系：空集（只有零解）
通解：x=5x = 5x=5，y=1y = 1y=1，z=0z = 0z=0
答案：唯一解 x=5x = 5x=5，y=1y = 1y=1，z=0z = 0z=0
练习 3
求方程组 {x+y+z=12x+2y+2z=2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2x + 2y + 2z = 2 \end{cases}{x+y+z=12x+2y+2z=2 的参数解。
参考答案解题思路：
用高斯消元法化为行阶梯形，然后用参数表示。
详细步骤：
增广矩阵：(111∣1222∣2)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 2 & 2 & 2 & | & 2 \end{pmatrix}(121212∣∣12)
化为行阶梯形：(111∣1000∣0)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}(101010∣∣10)
主元：xxx，自由变量：y,zy, zy,z
设 y=ty = ty=t，z=sz = sz=s，则 x=1−t−sx = 1 - t - sx=1−t−s
答案：x=1−t−sx = 1 - t - sx=1−t−s，y=ty = ty=t，z=sz = sz=s（t,st, st,s 为任意常数）
练习 4
分析方程组 {x+y=1x+y=2\begin{cases} x + y = 1 \\ x + y = 2 \end{cases}{x+y=1x+y=2 的解结构。
参考答案解题思路：
用高斯消元法分析解的结构。
详细步骤：
增广矩阵：(11∣111∣2)\begin{pmatrix} 1 & 1 & | & 1 \\ 1 & 1 & | & 2 \end{pmatrix}(1111∣∣12)
化为行阶梯形：(11∣100∣1)\begin{pmatrix} 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & 0 & | & 1 \end{pmatrix}(1010∣∣11)
系数矩阵的秩为 1，增广矩阵的秩为 2
系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩
答案：无解
练习 5
证明：非齐次线性方程组的通解等于特解加上对应齐次方程组的通解。
参考答案解题思路：
利用线性性质证明。
详细步骤：
设 x⃗0\vec{x}_0x0 是非齐次方程组的特解
设 x⃗h\vec{x}_hxh 是对应齐次方程组的任意解
验证 x⃗0+x⃗h\vec{x}_0 + \vec{x}_hx0+xh 是非齐次方程组的解：
A(x⃗0+x⃗h)=Ax⃗0+Ax⃗h=b⃗+0⃗=b⃗A(\vec{x}_0 + \vec{x}_h) = A\vec{x}_0 + A\vec{x}_h = \vec{b} + \vec{0} = \vec{b}A(x0+xh)=Ax0+Axh=b+0=b
验证任意解都可以表示为这种形式
答案：证明完成